Привет всем!
Термин производная появился ещё в 1797 году, и ввёл это термин, как и его современное обозначение y', Жозеф Луи Лагранж. Но предпосылки к появлению понятия производной появились благодаря английскому учёному Исааку Ньютону, который, примерно в то же время, отметил, что существуют строгие связи между количественными характеристиками самых различных процессов, причем исследуемых не только в физике, но и других науках, как например химия, биология. Например, связь между путем и скоростью во времени, которую можно записать как V(t) = S'(t). В чем эта связь заключается, можно в дальнейшем понять из определения производной функции:
Производной функции называется предел отношения приращения функции к приращению её аргумента при стремлении приращения аргумента к нулю.
Начнем с того, что вспомним, что такое скорость. Скорость - это физическая величина характеризующая быстроту перемещения некоторой материальной точки, то есть это показатель на сколько быстро продвинулось что-то (некое тело или точка) на определенное расстояние за определенное время. Это можно определить следующей формулой: V = S / t.
Далее для примера возьмем движение поезда, и для этого нарисуем некоторый график (График функции 1), где по оси X, которая традиционно располагается по горизонтали, указано всегда равномерно текущее время, скажем в минутах. По оси же Y, расположенной вертикально, обозначено пройденное поездом расстояние, допустим в километрах. И что тогда можно увидеть на этом графике?
Примерно следующее. Поезд выскочил из ниоткуда, причем уже на большой скорости, буквально секунд за десять-пятнадцать, преодолев больше километра, промчался мимо нас (функция пересекает ось X), после чего, спустя ещё минуту, он, явно замедляя ход, был уже в полутора километрах от нас, где и остановился (точка выпуклости). Далее, как видно по графику, расстояние начинает сокращаться, то есть поезд начал двигаться назад. Спустя почти две минуты поезд вернулся назад на расстояние чуть больше километра, где его скорость снова стала нулевой (точка вогнутости). После этого поезд снова, набирая ход, поехал вперед и, преодолев за две с половиной минуты расстояние в три километра, умчался в даль вне поля зрения.
Если бы поезд ехал все время вперед с одинаковой скоростью, то график был бы в виде прямой линии параллельной оси координаты X. Если бы поезд равномерно разгонялся или наоборот тормозил, то опять же график бы выглядел в виде прямой линии, но уже наклонённой относительно оси X. Но наш график имеет вид плавной, несколько раз изогнутой линии, значит поезд ехал то быстрее, то медленнее, то останавливался, то вообще ехал назад. И как же получить наглядную динамику движения поезда в течении всего времени?
Всё очень просто. Ещё раз вспоминаем формулу скорости, которая равна отношению расстояния ко времени. Первый участок пути до остановки, расстоянием примерно полтора километра, поезд прошел за одну минуту. То есть это расстояние он прошел со средней скоростью... Делим по формуле 1.5 км на 1/60 часа и получается 90 км/ч. Далее он двинулся назад и за две минуты вернулся на один километр, преодолев его со средней скоростью - 1 км разделить на 2/60 часа, получается 30 км/ч, где поезд снова остановился. И наконец он снова поехал вперед, преодолевая за две с половиной минуты примерно три километра, это будет 3 км разделить на 2.5/60 часа, то есть скорость в 72 км/ч.
График функции 1.
И так у нас получилось три участка, и три разных результата скорости, с которой поезд эти участки преодолевал. Для анализа движения поезда этого конечно маловато. Тогда каждый из трех участков можно, скажем, разбить на пополам, и посчитать, разделив получившееся расстояние каждого участка, прошедшего поездом уже за более короткий промежуток времени, с какой скоростью он их преодолевал, и тогда уже можно получиться шесть участков и шесть результатов скоростей. Уже лучше. Становится очевидным, что чем на большее количество участков мы разобьем путь и посчитаем скорость движения поезда на каждом из этих участков, то тем более наглядная динамика движения поезда у нас получиться.
Тогда, наверное, гораздо удобнее было бы делить не участки пути, а всегда одинаково текущее время на максимально короткие равные промежутки времени, назвав этот промежуток "дельта X", и найти все расстояния, которые поезд за этот короткий промежуток времени успел пройти и назовем их "разница Y". Тогда, разделив эти расстояния "разница Y" на промежуток времени "дельта X", можно получить достаточно много значений для формирования графика изменения скорости поезда во времени. Выглядеть этот график будет как график функции зеленого цвета показанный ниже (График функции 2).
График функции 2.
Красный график функции - это график изменения расстояния при движении поезда во времени, а зеленый график функции, наложенный на ту же систему координат поверх него, это график изменения скорости движения поезда в то же время. Рассчитан он на основе данных полученных из графика изменения расстояния поезда с промежутком разделения времени "дельта X"... Ну, если брать принятые нами ранее условные масштабы, то в одну секунду.
Кстати на графике функции, если навести курсор на зеленый график изменения скорости, то можно увидеть расчётные данные, на основе которых этот график строится. Для сравнения значение промежутка времени "дельта X" можно изменять, чтобы увидеть какие расчетные данные при этом получаются. Поэкспериментировав этим значением можно убедиться, что наиболее точные значение графика рассчитываются при размере "дельта X" равным 1, в данном случае это минимальное значение равное одному графическому пикселю. То есть чем меньше промежутки времени взяты для расчёта мгновенной скорости, тем больше данных о динамике движения скорости можно получить и тем более точный и наглядные график изменения скорости можно построить.
Но, пришло время вернуться к производной. И тут, прочитав ещё раз определение производной функции, становится понятно, что график изменения скорости поезда во времени является ничем иным как производной от графика изменения расстояний поезда во времени.
Подобный график производной можно построить для любых изменяющихся данных, связанных между собой отношением, поэтому производные получили довольно широкое применение в самых различных областях науки. Но в основном это изучение и анализ различных процессов, изменяющиеся во времени. Например, в электротехнике производную используют для вычисления силы тока, имеющую связь: I = Δq/Δt, где Δq - это заряд за какой-то определенный промежуток времени, а Δt - это и есть тот самый промежуток времени. Построив график производной I(t) = q'(t) можно получить наглядное изменение силы тока во времени в зависимости от изменения заряда.
Так же вычисление производной используют в химии, для нахождения дозы лекарства при которой побочный эффект будет минимальным, а реакция максимальной. В экономике – для анализа производственных функций, широко используемых в современных экономических исследованиях. В биологии, для изучения роста популяции микроорганизмов. И т.д.
А теперь для создания производной функции возьмём график какой-нибудь распространённой функции. Например, f(x) = x4, красный график которой можно увидеть ниже на левом графике функции 3.
График функции 3.
Зеленая линия графика - это рассчитанная производная от функции f(x) = x4. Ничего не напоминает? Хотя да, Вы уже наверняка увидели правый график функции 3, и обратили внимание, что это кубическая функция и она точно такая же, как и график производной от функции x в четвёртой степени. Вид этой функции: f(x) = 4 * x3. И если вспомнить таблицу производных, то производная от x4 будет равняться как раз 4 * x3.
Что же, тогда стоит посмотреть график производной кубической функции.
График функции 4.
Все правильно, производная от кубической функции является парабола функции квадрата. Пробуем дальше, производная от функции квадрата:
График функции 5.
Получилась наклонная прямая линия функции 2 * x. Почему именно прямая линия? Одно из определений производной это понятие дифференциального исчисления, характеризующее скорость изменения функции в данной точке. Если проследить за расчетными данными, то можно увидеть насколько равномерно изменяется кривизна линии квадратичной функции. Насколько равномерна скорость изменения функции. Действительно получается прямая линия.
И наконец производная от обычного x, получилась прямая линия параллельная оси X, что является графиком функции константы 1. Как видно, все соответствует таблице производных. Ну а если попробовать какую-нибудь тригонометрическую функцию? Например, синус.
График функции 6.
Разумеется, получился график косинуса.
А далее я предлагаю Вам самим поэкспериментировать с конструктором графика функции, расположенного ниже (График функции 7). В него, в левую часть, Вы можете забить любую функцию и посмотреть какой график будет сформирован, этот график будет красного цвета. А также увидеть какой график производной от этой функции получится, он будут зеленого цвета.
Хочу заметить, что мой график функций не умеют вычислять значение производной, а только рассчитывает кривую графика производной. Поэтому, если Вы захотите проверить результат сформированного графика производной функции, то значение производной функции Вам придётся найти самим, а потом получившуюся формулу можно завести в правую часть графика, чтобы увидеть сформированную кривую.
График функции 7.
Правила использования конструктора функций:
В конструкторе функций в поле формулы функции можно использовать только переменную x, причем именно строчную. Так же можно использовать математические операторы: +, -, /, *, **. Для сложных функций можно использовать математические функции из стандартного объекта JavaScript - Math:
Math.abs(x)- возвращает абсолютное значение числа;Math.acos(x)- возвращает арккосинус числа;Math.acosh(x)- возвращает гиперболический арккосинус числа;Math.actg(x)- возвращает арккотангенс числа;Math.asin(x)- возвращает арксинус числа;Math.asinh(x)- возвращает гиперболический арксинус числа.;Math.atan(x)- возвращает арктангенс числа;Math.atanh(x)- возвращает гиперболический арктангенс числа;Math.atan2(y, x)- возвращает арктангенс от частного своих аргументов. Одна из переменных должна быть константой;Math.cbrt(x)- возвращает кубический корень числа;Math.ceil(x)- возвращает значение числа, округлённое к большему целому;Math.cos(x)- возвращает косинус числа;Math.cosh(x)- возвращает гиперболический косинус числа;Math.ctg(x)- возвращает котангенс числа;Math.dfrt(x, y)- возвращает корень числаxпо основаниюy;Math.exp(x)- возвращаетEx, гдеx— аргумент, аE— число Эйлера (2,718…), основание натурального логарифма;Math.expm1(x)- возвращаетexp(x), из которого вычли единицу;Math.floor(x)- возвращает значение числа, округлённое к меньшему целому;Math.log(x)- возвращает натуральный логарифм числа (loge, также известен как ln);Math.log1p(x)- возвращает натуральный логарифм числа1 + x;Math.log10(x)- возвращает десятичный логарифм числа;Math.log2(x)- возвращает двоичный логарифм числа;Math.lg(x, y)- возвращаетlogxy, логарифм числаyпо основаниюx. Одна из переменных должна быть константой;Math.pow(x, y)- возвращает степень числаxy. Одна из переменных должна быть константой;x ** y- то же чтоMath.pow(x, y);Math.random()- возвращает псевдослучайное число в диапазоне от 0 до 1;Math.round(x)- возвращает значение числа, округлённое до ближайшего целого;Math.sin(x)- возвращает синус числа;Math.sinh(x)- возвращает гиперболический синус числа;Math.sqrt(x)- возвращает положительный квадратный корень числа;Math.tan(x)- возвращает тангенс числа;Math.tan(x)- возвращает гиперболический тангенс числа;Math.trunc(x)- возвращает целую часть числа, убирая дробные цифры.
А также математические константы из стандартного объекта JavaScript - Math:
Math.E- число Эйлера или Непера, основание натуральных логарифмов, приблизительно равное 2,718;Math.LN2- натуральный логарифм из 2, приблизительно равен 0,693;Math.LN10- натуральный логарифм из 10, приблизительно равен 2,303;Math.LOG2E- двоичный логарифм из E, приблизительно равен 1,443;Math.LOG10E- десятичный логарифм из E, приблизительно равен 0,434;Math.PI- отношение длины окружности круга к его диаметру, приблизительно равно 3,14159;Math.SQRT1_2- квадратный корень из 1/2; или, что тоже самое, 1, делённая на квадратный корень из 2, приблизительно равен 0,707;Math.SQRT2- квадратный корень из 2, приблизительно равен 1,414.
В данной статье я затронул только физический смысл производной, а ещё у производной есть геометрический смысл. Геометрический смысл не менее полезен для науки чем физический, но это, как говориться, уже совсем другая история.